Stability and dispersion analysis of improved time discretization for simply supported prestressed Timoshenko systems. Application to the stiff piano string

We study the implicit time discretization of piano strings governing equations within the Timoshenko prestressed beam model. Such model features two different waves, namely the flexural and shear waves, that propagate with very different velocities. We present a novel implicit time discretization that reduces the numerical dispersion while allowing the use of a large time step in the numerical computations. After analyzing the continuous system and the two branches of eigenfrequencies associated with the propagating modes, the classical θ-scheme is studied. We present complete new proofs of stability using energy-based approaches that provide uniform results with respect to the featured time step. A dispersion analysis confirms that θ = 1/12 reduces the numerical dispersion, but yields a severely constrained stability condition for the application considered. Therefore we propose a new θ-like scheme, which allows to reduce the numerical dispersion while relaxing this stability condition. Stability proofs are also provided for this new scheme. Theoretical results are illustrated with numerical experiments corresponding to the simulation of a realistic piano string. Key-words: Prestressed Timoshenko system , Theta schemes , Implicit time discretization , Dispersion analysis , Stability analysis , Energy techniques ∗ Magique 3d team, Inria Sud Ouest, 200 Avenue de la Vieille Tour, 33 405 TALENCE, France. † Poems team, Inria Rocquencourt, Le Chesnay, France. ‡ Department of Applied Physics and Applied Mathematics, Columbia University, New York, NY, 10027, USA. ha l-0 07 38 23 3, v er si on 2 4 O ct 2 01 2 Études de stabilité et de dispersion pour un schéma temporel amélioré pour le système de Timoshenko précontraint simplement supporté. Application à la corde de piano raide. Résumé : Nous étudions la discrétisation implicite en temps des équations permettant de modéliser les cordes de piano, grâce au modèle de poutre précontrainte de Timoshenko. Ce modèle considère la propagation de deux ondes (de flexion et de cisaillement) à des vitesses très différentes. Nous présentons une nouvelle discrétisation en temps implicite qui permet de réduire la dispersion numérique tout en autorisant un grand pas de temps lors des simulations numériques. Après avoir analysé le système continu et ses deux branches de fréquences propres, associées à des modes propres, le θ-schéma classique est étudié. Nous présentons des preuves nouvelles de stabilité, basées sur une approche énergétique et qui fournissent des estimations uniformes par rapport au pas de temps. Une analyse de dispersion confirme que la valeur θ = 1/12 réduit la dispersion numériques, mais conduit à une condition de stabilité très sévère pour l’application considérée. Nous proposons donc un nouveau schéma de type θ-schéma, qui permet de réduire la dispersion numérique tout en relaxant la restriction sur le pas de temps. Des preuves de stabilité sont également fournies pour ce nouveau schéma. Les résultats théoriques sont illustrés par des expériences numériques correspondant à la simulation d’une corde de piano réaliste. Mots-clés : système de Timoshenko précontraint , theta schémas , discrétisation implicite en temps , analyse de dispersion , analyse de stabilité , techniques d’énergie ha l-0 07 38 23 3, v er si on 2 4 O ct 2 01 2 Analysis of improved time discretization for Timoshenko systems. 3